#7.    Prove the trigonometric identities: 

> restart;
 

> `*`(cos(`+`(a, b)), `*`(cos(`+`(a, `-`(b)))));
 

`*`(cos(`+`(a, b)), `*`(cos(`+`(a, `-`(b))))) (2.7.1)
 

> expand(`*`(cos(`+`(a, b)), `*`(cos(`+`(a, `-`(b))))));
 

`+`(`*`(`^`(cos(a), 2), `*`(`^`(cos(b), 2))), `-`(`*`(`^`(sin(a), 2), `*`(`^`(sin(b), 2))))) (2.7.2)
 

> algsubs(`*`(`^`(cos(a), 2)) = `+`(1, `-`(`*`(`^`(sin(a), 2)))), `+`(`*`(`^`(cos(a), 2), `*`(`^`(cos(b), 2))), `-`(`*`(`^`(sin(a), 2), `*`(`^`(sin(b), 2))))));
 

`+`(`-`(`*`(`^`(cos(b), 2), `*`(`^`(sin(a), 2)))), `-`(`*`(`^`(sin(a), 2), `*`(`^`(sin(b), 2)))), `*`(`^`(cos(b), 2))) (2.7.3)
 

> simplify(`+`(`-`(`*`(`^`(cos(b), 2), `*`(`^`(sin(a), 2)))), `-`(`*`(`^`(sin(a), 2), `*`(`^`(sin(b), 2)))), `*`(`^`(cos(b), 2))), 'trig');
 

`+`(`*`(`^`(cos(a), 2)), `*`(`^`(cos(b), 2)), `-`(1)) (2.7.4)
 

> algsubs(`+`(`*`(`^`(cos(a), 2)), `-`(1)) = `+`(`-`(`*`(`^`(sin(a), 2)))), `+`(`*`(`^`(cos(a), 2)), `*`(`^`(cos(b), 2)), `-`(1)));
 

`+`(`*`(`^`(cos(b), 2)), `-`(`*`(`^`(sin(a), 2)))) (2.7.5)
 

>
 

>
 

> `*`(tan(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(x)), `-`(`*`(`/`(1, 2), `*`(y))))), `*`(cot(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(x)), `*`(`/`(1, 2), `*`(y))))));
 

`*`(tan(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(x)), `-`(`*`(`/`(1, 2), `*`(y))))), `*`(cot(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(x)), `*`(`/`(1, 2), `*`(y)))))) (2.7.6)
 

>
 

> expand(`*`(tan(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(x)), `-`(`*`(`/`(1, 2), `*`(y))))), `*`(cot(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(x)), `*`(`/`(1, 2), `*`(y)))))));
 

`/`(`*`(`+`(`-`(tan(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(y))))), tan(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(x))))), `*`(`+`(`-`(1), `*`(cot(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(x)))), `*`(cot(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(y))))))))), `*`(`+`(1, `*`(ta... (2.7.7)
 

> simplify(`/`(`*`(`+`(`-`(tan(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(y))))), tan(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(x))))), `*`(`+`(`-`(1), `*`(cot(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(x)))), `*`(cot(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(y))))))))), `*`(`+`(...
 

`/`(`*`(`+`(`-`(`*`(sin(x), `*`(`^`(cos(y), 2)))), `*`(sin(y), `*`(`^`(cos(x), 2))), sin(x), `-`(sin(y)))), `*`(`+`(`*`(sin(x), `*`(`^`(cos(y), 2))), `*`(sin(y), `*`(`^`(cos(x), 2))), `-`(sin(x)), `-`... (2.7.8)
 

> algsubs(`*`(`^`(cos(y), 2)) = `+`(1, `-`(`*`(`^`(sin(y), 2)))), %);
 

`/`(`*`(`+`(`*`(`^`(sin(y), 2), `*`(sin(x))), `*`(sin(y), `*`(`^`(cos(x), 2))), `-`(sin(y)))), `*`(`+`(`-`(`*`(`^`(sin(y), 2), `*`(sin(x)))), `*`(sin(y), `*`(`^`(cos(x), 2))), `-`(sin(y))))) (2.7.9)
 

> algsubs(`*`(`^`(cos(x), 2)) = `+`(1, `-`(`*`(`^`(sin(x), 2)))), %);
 

`/`(`*`(`+`(`-`(`*`(`^`(sin(x), 2), `*`(sin(y)))), `*`(`^`(sin(y), 2), `*`(sin(x))))), `*`(`+`(`-`(`*`(`^`(sin(x), 2), `*`(sin(y)))), `-`(`*`(`^`(sin(y), 2), `*`(sin(x))))))) (2.7.10)
 

> simplify(`/`(`*`(`+`(`-`(`*`(`^`(sin(x), 2), `*`(sin(y)))), `*`(`^`(sin(y), 2), `*`(sin(x))))), `*`(`+`(`-`(`*`(`^`(sin(x), 2), `*`(sin(y)))), `-`(`*`(`^`(sin(y), 2), `*`(sin(x))))))), 'symbolic');
 

`/`(`*`(`+`(sin(x), `-`(sin(y)))), `*`(`+`(sin(x), sin(y)))) (2.7.11)
 

>
 

> `+`(tan(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(x)))), cot(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(x)))));
 

`+`(tan(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(x)))), cot(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(x))))) (2.7.12)
 

> simplify(`+`(tan(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(x)))), cot(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(x))))), 'trig');
 

`+`(`/`(`*`(2), `*`(sin(x)))) (2.7.13)